Satellites : l’importance des « points de Lagrange »

Il paraît que le téles­cope spa­tial James Webb vient tout juste d’ar­ri­ver à « bon port », au fameux « point de Lagrange L2 » dans le vide inter­pla­né­taire de notre sys­tème solaire, à quelques 1,5 mil­lion de kilo­mètres de la Terre. Pour­quoi les agences spa­tiales ont-elles déci­dé de le posi­tion­ner à cet endroit ? Qu’ont ces « points » de Lagrange de si par­ti­cu­lier pour y envoyer des satel­lites depuis 50 ans ?

Depuis les lois de la méca­nique et de la gra­vi­ta­tion éla­bo­rées par Isaac New­ton à la fin du XVIIe siècle, le « pro­blème des trois corps », qui consiste à déter­mi­ner le mou­ve­ment de trois objets célestes sous leurs seules attrac­tions gra­vi­ta­tion­nelles mutuelles, est un des plus fruc­tueux pro­blèmes de phy­sique. Les ten­ta­tives pour le résoudre ont per­mis le déve­lop­pe­ment d’in­nom­brables avan­cées théo­riques, elles-mêmes res­pon­sables d’ap­pli­ca­tions pra­tiques révo­lu­tion­naires. Même si, aujourd’­hui, et notam­ment grâce aux tra­vaux d’Hen­ri Poin­ca­ré à la fin du XIXe siècle, on com­prend mieux pour­quoi il est dif­fi­cile, on peut encore consi­dé­rer qu’il n’est, à ce jour, pas com­plè­te­ment résolu.

Les points de Lagrange appa­raissent natu­rel­le­ment comme des solu­tions par­ti­cu­lières du pro­blème à trois corps dit « res­treint », dans lequel l’un des corps est tout petit com­pa­ré aux deux autres. C’est le cas du mou­ve­ment d’un satel­lite autour du Soleil et d’une pla­nète. Nous nous pla­çons doré­na­vant dans ce cadre.

Consi­dé­rons d’abord le mou­ve­ment de la Terre autour du Soleil, qui est un cercle qua­si-par­fait. Elle en fait le tour en un an, c’est ce que l’on appelle sa période de révo­lu­tion. Ima­gi­nons main­te­nant que l’on place un satel­lite en orbite cir­cu­laire autour du Soleil, avec une période de révo­lu­tion d’exac­te­ment un an, et de sorte qu’il soit tou­jours pla­cé sur l’axe Terre-Soleil. En ajus­tant sa dis­tance au Soleil, la force d’at­trac­tion de ce der­nier va exac­te­ment com­pen­ser celle de la Terre et le satel­lite sera à l’équilibre.

Mais le lec­teur atten­tif aura remar­qué que si le satel­lite orbite le Soleil, alors il subit aus­si une force cen­tri­fuge (celle qui nous tire vers l’ex­té­rieur dans un manège ou un rond-point). Cette force s’a­joute aux attrac­tions gra­vi­ta­tion­nelles, mais ne change pas la donne : on pour­ra tou­jours ajus­ter la posi­tion du satel­lite sur l’axe Soleil-Terre pour que les trois forces se com­pensent, comme repré­sen­té sur la figure ci-dessous.

Cette orbite que nous venons de construire est pré­ci­sé­ment le pre­mier de ce que les astro­nomes appellent un « point de Lagrange ». Mais alors pour­quoi « point » et pas « orbite » de Lagrange ? La rai­son se trouve dans une autre manière de regar­der notre pro­blème. En effet, puisque le satel­lite et la Terre font une révo­lu­tion com­plète autour du Soleil en un an, on peut ima­gi­ner tour­ner avec eux, et prendre en compte cette révo­lu­tion dans la repré­sen­ta­tion gra­phique du pro­blème. La tra­jec­toire du satel­lite est alors réduite à un point, pla­cé entre le Soleil et la Terre, qui, elle aus­si, est immo­bile dans ce réfé­ren­tiel dit « co-tour­nant ». Ce point, qui repré­sente en fait une orbite, est le point de Lagrange L1.

Le réfé­ren­tiel co-tour­nant est bien pra­tique et per­met de décou­vrir quatre autres points de Lagrange, en cher­chant d’autres endroit où les forces d’at­trac­tion de la Terre et du Soleil com­pensent la force cen­tri­fuge. Deux autres de ces points, appe­lés L2 et L3, se trouvent aus­si sur l’axe Soleil-Terre, comme indi­qué sur la figure ci-dessous.

L2 se situe de l’autre côté de la Terre par rap­port à L1, et L3 est de l’autre côté du Soleil. On voit bien sur la figure que les trois forces subies par un satel­lite en ces points se com­pensent : c’est pour­quoi on les appelle aus­si des « points d’é­qui­libre ». Avec L1, les points L2 et L3 cor­res­pondent à trois solu­tions exactes du pro­blème à trois corps déter­mi­nées par Leo­nard Euler et publiées en 1765. En par­ti­cu­lier, étant situé à l’op­po­sé du Soleil par rap­port à nous, le point L3 a été l’ob­jet de nom­breux fan­tasmes depuis l’an­ti­qui­té, comme l’hy­po­thé­tique anti-Terre qui serait pla­cée en L3 et qui nous serait invi­sible, car cachée par le Soleil.

C’est Joseph-Louis Lagrange qui mon­tra en 1772 que deux autres points, L4 et L5, existent. Ils ne sont pas sur l’axe Soleil-Terre, mais situés à égale dis­tance d’eux, de telle sorte à for­mer un tri­angle équi­la­té­ral. En ces points, les deux forces gra­vi­ta­tion­nelles et la force cen­tri­fuge, bien que non-ali­gnées, se com­pensent par­fai­te­ment, comme indi­qué sur la figure ci-des­sous. En pra­tique, le satel­lite se situe donc qua­si­ment sur l’or­bite de la Terre, avec 60° d’a­vance (L4) ou de recul (L5) par rap­port à elle.

Les points de Lagrange étant asso­ciés à des posi­tions d’é­qui­libre, il ne serait pas éton­nant d’y trou­ver, dans le sys­tème Solaire, des objets natu­rels (comme des petits asté­roïdes). Dans le cas du sys­tème Soleil-Jupi­ter, on observe autour des points de Lagrange L4 et L5 envi­ron 10 000 asté­roïdes à ce jour. Appe­lés asté­roïdes Troyens, cer­tains d’entre eux ont même des satel­lites natu­rels à leur tour, comme le plus gros appe­lé « (624) Hec­tor » et sa lune asté­roï­dale « Scamandrios ».

Ces mil­liers d’ob­jets sont la preuve que les régions de sta­bi­li­té de Lagrange sont réelles et pas juste des consi­dé­ra­tions théo­riques. La plu­part des pla­nètes du sys­tème Solaire ont des asté­roïdes « Troyens », i.e., situé proche des empla­ce­ments L4 et L5 du sys­tème Soleil-pla­nète, même s’il faut noter qu’aucun Troyen n’a été obser­vé pour le sys­tème Terre-Saturne. On soup­çonne que les per­tur­ba­tions dues à Jupi­ter empêche les asté­roïdes d’y res­ter trop long­temps⁴. Iro­ni­que­ment, deux satel­lites natu­rels de Saturne, Téthys et Dion­né, pos­sèdent des Troyens eux-mêmes !