Une (très) brève histoire de l’infini

Consi­dé­ré à une autre époque comme un concept sacré (seul Dieu est infi­ni) ou méta­phy­sique (l’esprit humain ne pour­ra jamais le conce­voir entiè­re­ment), l’infini est depuis entré de plain-pied dans le domaine des sciences et des tech­niques. Aujourd’hui, on le mesure, on le com­pare, on l’étudie et l’utilise presque comme un nombre normal.

Mais qu’est-ce que l’infini ? Et com­ment a‑t-on appris à l’apprivoiser ?

Il semble que le ques­tion­ne­ment sur l’infini soit aus­si vieux que l’humanité. Mal­heu­reu­se­ment, les écrits qui l’attestent sont d’autant plus rares qu’ils sont anciens. On sait que les phi­lo­sophes du 1^er mil­lé­naire avant Jésus-Christ s’é­mer­veillaient déjà sur les pro­prié­tés éton­nantes de l’infini.

Mais l’infini n’est-il qu’un concept ? Une idée bizarre avec laquelle jouent les mathé­ma­ti­ciens ? Ou a‑t-il un lien avec le monde qui nous entoure ? Existe-t-il quelque chose de réel­le­ment infini ?

Pour Anaxi­mandre, l’infini est le prin­cipe fon­da­teur de la réa­li­té. De lui naissent un nombre infi­ni de mondes qui emplissent le volume de l’Univers. Pour Héra­clite, par contre, c’est le temps qui est infi­ni. Il a tou­jours été et sera tou­jours. C’est à tra­vers lui que nous per­ce­vons notre propre existence.

Bien sûr, aucune de ces affir­ma­tions n’est étayée par une « expé­rience » ou une « mesure » telles que nous les conce­vons aujourd’hui dans la démarche scien­ti­fique. Il s’agit plus d’une posi­tion phi­lo­so­phique qui dif­fé­ren­cie une école de pen­sée d’une autre.

L’infini est d’abord et avant tout un concept mathé­ma­tique. Et ce sont les mathé­ma­ti­ciens qui s’en emparent pour l’observer à la loupe. Zénon d’Elée (~450 av. JC) tente de mon­trer l’impossibilité « phy­sique » de l’infini, non plus en le mesu­rant, mais au contraire en s’en ser­vant pour divi­ser les choses en élé­ments tou­jours plus petits.

Il en résulte son célèbre « para­doxe » de la flèche qui, selon lui, ne devrait jamais pou­voir atteindre sa cible. En effet, on peut tou­jours divi­ser son par­cours res­tant par deux et il res­te­ra tou­jours une por­tion de che­min à par­cou­rir (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32), à l’infini.
Dans la mesure où il faut un nombre infi­ni d’étapes pour fran­chir la dis­tance entre l’arc et la cible, Zénon conclut à l’impossibilité à la flèche d’atteindre sa des­ti­na­tion en un temps fini.

Ce para­doxe fut réso­lu bien plus tard par une des branches des mathé­ma­tiques qui étu­die les sommes infi­nies de nombres : les séries.

Ajou­ter 1/2+ 1/4+ 1/8+ 1/16+… revient à faire la somme 1/2+ 1/2²+ 1/2³+ 1/2⁴+…

Cette série s’appelle une série géo­mé­trique. Elle s’écrit sous la forme : 

Sa réso­lu­tion est très simple. Lorsque n tend vers l’infini, la valeur de cette somme tend natu­rel­le­ment vers 1.

Sa réso­lu­tion gra­phique est encore plus simple. Dans la figure ci-des­sous, on voit intui­ti­ve­ment que, pour rem­plir un car­ré de côté 1, il faut faire la somme d’éléments dont l’aire cor­res­pond exac­te­ment à la série ci-dessus.

Ce qu’il man­quait à Zénon, c’est ce résul­tat contre-intui­tif que la somme d’une infi­ni­té de nombres ne donne pas tou­jours un résul­tat infini.

Autre­ment dit, ce n’est pas parce que la tra­jec­toire de la flèche peut être décom­po­sée en un nombre infi­ni que le temps qu’elle met­tra pour les par­cou­rir sera infi­ni. Para­doxe réso­lu. Les flèches peuvent désor­mais rejoindre leur cible en toute quiétude.

Plus tard, le célèbre Isaac New­ton per­fec­tion­ne­ra l’art de mesu­rer des valeurs arbi­trai­re­ment petites en déve­lop­pant le cal­cul infi­ni­té­si­mal. Celui-ci débouche sur les célèbres déri­vées (et inté­grales) dont les mathé­ma­tiques, mais aus­si la phy­sique moderne, ne sau­raient se pas­ser aujourd’hui pour décrire et com­prendre le monde.

Nul besoin de com­prendre ni de visua­li­ser l’infini pour s’en ser­vir. L’infini n’est fina­le­ment qu’un outil par­mi bien d’autres que les mathé­ma­tiques mettent à notre dis­po­si­tion pour mesu­rer, cal­cu­ler et appré­hen­der notre environnement.

Mais un mathé­ma­ti­cien alle­mand de la fin du XIXème siècle est allé bien plus loin que qui­conque à l’époque pour mani­pu­ler l’infini, ou plus pré­ci­sé­ment les ensembles infinis.

Georg Can­tor se pose alors une ques­tion simple : Peut-on com­pa­rer deux ensembles infi­nis ? L’un peut-il être plus « grand » que l’autre ?

Sa réponse tient dans la manière uti­li­sée pour com­pa­rer deux ensembles : au lieu de comp­ter le nombre d’éléments de ces der­niers et de les com­pa­rer (ce que l’on ne peut pas faire avec un ensemble infi­ni), la méthode consiste à essayer d’apparier un élé­ment du pre­mier ensemble avec un élé­ment du deuxième. Si chaque élé­ment trouve son par­te­naire et qu’aucun ne reste seul (on appelle ça une bijec­tion), on peut alors dire que les deux ensembles sont égaux. Et cette méthode s’applique aus­si bien à des ensembles finis et infinis.

C’est ain­si que l’on peut prou­ver que la taille de l’ensemble (infi­ni) des entiers posi­tifs est stric­te­ment égale à celle de l’ensemble des entiers (posi­tifs et négatifs).

Plus fort, on a pu aus­si mon­trer que, bien qu’il y ait une infi­ni­té de frac­tions entre deux entiers, la taille de l’ensemble des entiers est rigou­reu­se­ment égale à celle de l’ensemble des nombres qui s’écrivent sous forme de fraction.

Cepen­dant, il a aus­si été prou­vé que l’ensemble des nombres réels (tous les nombres s’écrivant avec une vir­gule et un nombre fini ou infi­ni de déci­males) était stric­te­ment supé­rieur à celui des entiers.

Aus­si contre-intui­tif que cela puisse paraître, deux infi­nis dif­fé­rents peuvent avoir la même taille, mais, à l’inverse, tous les infi­nis ne se valent pas.

Peut-on des­si­ner des figures dont cer­tains para­mètres sont infinis ?

Outre le cercle (dont on peut consi­dé­rer qu’il s’agit d’un poly­gone avec un nombre infi­ni de côtés), d’autres figures étranges ont com­men­cé à émer­ger pen­dant la 2^ème moi­tié du XXème siècle : les fractals.

Une manière de les créer est de les construire par ité­ra­tion, étape par étape. Au bout d’un nombre infi­ni d’étapes, la figure est ter­mi­née, et on peut en étu­dier les propriétés.

Le flo­con de Von Koch, par exemple, est une figure extra­or­di­naire : bien que sa sur­face soit finie, son péri­mètre, lui est infi­ni.

Ce genre de géo­mé­trie a été appli­qué avec suc­cès dans le domaine des télé­com­mu­ni­ca­tions. Depuis la fin des années 80, on déve­loppe ain­si des antennes frac­tales, dont la lon­gueur, à défaut d’être infi­nie, est très grande, mais dont le volume reste faible, ce qui per­met d’obtenir des sys­tèmes com­pacts et efficaces.