Une (très) brève histoire de l’infini

Con­sid­éré à une autre époque comme un con­cept sacré (seul Dieu est infi­ni) ou méta­physique (l’esprit humain ne pour­ra jamais le con­cevoir entière­ment), l’infini est depuis entré de plain-pied dans le domaine des sci­ences et des tech­niques. Aujourd’hui, on le mesure, on le com­pare, on l’étudie et l’utilise presque comme un nom­bre normal.

Mais qu’est-ce que l’infini ? Et com­ment a‑t-on appris à l’apprivoiser ?

Il sem­ble que le ques­tion­nement sur l’infini soit aus­si vieux que l’humanité. Mal­heureuse­ment, les écrits qui l’attestent sont d’autant plus rares qu’ils sont anciens. On sait que les philosophes du 1^er mil­lé­naire avant Jésus-Christ s’émer­veil­laient déjà sur les pro­priétés éton­nantes de l’infini.

Mais l’infini n’est-il qu’un con­cept ? Une idée bizarre avec laque­lle jouent les math­é­mati­ciens ? Ou a‑t-il un lien avec le monde qui nous entoure ? Existe-t-il quelque chose de réelle­ment infini ?

Pour Anax­i­man­dre, l’infini est le principe fon­da­teur de la réal­ité. De lui nais­sent un nom­bre infi­ni de mon­des qui emplis­sent le vol­ume de l’Univers. Pour Hér­a­clite, par con­tre, c’est le temps qui est infi­ni. Il a tou­jours été et sera tou­jours. C’est à tra­vers lui que nous percevons notre pro­pre existence.

Bien sûr, aucune de ces affir­ma­tions n’est étayée par une « expéri­ence » ou une « mesure » telles que nous les con­cevons aujourd’hui dans la démarche sci­en­tifique. Il s’agit plus d’une posi­tion philosophique qui dif­féren­cie une école de pen­sée d’une autre.

L’infini est d’abord et avant tout un con­cept math­é­ma­tique. Et ce sont les math­é­mati­ciens qui s’en empar­ent pour l’observer à la loupe. Zénon d’Elée (~450 av. JC) tente de mon­tr­er l’impossibilité « physique » de l’infini, non plus en le mesurant, mais au con­traire en s’en ser­vant pour divis­er les choses en élé­ments tou­jours plus petits.

Il en résulte son célèbre « para­doxe » de la flèche qui, selon lui, ne devrait jamais pou­voir attein­dre sa cible. En effet, on peut tou­jours divis­er son par­cours restant par deux et il restera tou­jours une por­tion de chemin à par­courir (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32), à l’infini.
Dans la mesure où il faut un nom­bre infi­ni d’étapes pour franchir la dis­tance entre l’arc et la cible, Zénon con­clut à l’impossibilité à la flèche d’atteindre sa des­ti­na­tion en un temps fini.

Ce para­doxe fut résolu bien plus tard par une des branch­es des math­é­ma­tiques qui étudie les sommes infinies de nom­bres : les séries.

Ajouter 1/2+ 1/4+ 1/8+ 1/16+… revient à faire la somme 1/2+ 1/2²+ 1/2³+ 1/2⁴+…

Cette série s’appelle une série géométrique. Elle s’écrit sous la forme : 

Sa réso­lu­tion est très sim­ple. Lorsque n tend vers l’infini, la valeur de cette somme tend naturelle­ment vers 1.

Sa réso­lu­tion graphique est encore plus sim­ple. Dans la fig­ure ci-dessous, on voit intu­itive­ment que, pour rem­plir un car­ré de côté 1, il faut faire la somme d’éléments dont l’aire cor­re­spond exacte­ment à la série ci-dessus.

Ce qu’il man­quait à Zénon, c’est ce résul­tat con­tre-intu­itif que la somme d’une infinité de nom­bres ne donne pas tou­jours un résul­tat infini.

Autrement dit, ce n’est pas parce que la tra­jec­toire de la flèche peut être décom­posée en un nom­bre infi­ni que le temps qu’elle met­tra pour les par­courir sera infi­ni. Para­doxe résolu. Les flèch­es peu­vent désor­mais rejoin­dre leur cible en toute quiétude.

Plus tard, le célèbre Isaac New­ton per­fec­tion­nera l’art de mesur­er des valeurs arbi­traire­ment petites en dévelop­pant le cal­cul infinitési­mal. Celui-ci débouche sur les célèbres dérivées (et inté­grales) dont les math­é­ma­tiques, mais aus­si la physique mod­erne, ne sauraient se pass­er aujourd’hui pour décrire et com­pren­dre le monde.

Nul besoin de com­pren­dre ni de visu­alis­er l’infini pour s’en servir. L’infini n’est finale­ment qu’un out­il par­mi bien d’autres que les math­é­ma­tiques met­tent à notre dis­po­si­tion pour mesur­er, cal­culer et appréhen­der notre environnement.

Mais un math­é­mati­cien alle­mand de la fin du XIXème siè­cle est allé bien plus loin que quiconque à l’époque pour manip­uler l’infini, ou plus pré­cisé­ment les ensem­bles infinis.

Georg Can­tor se pose alors une ques­tion sim­ple : Peut-on com­par­er deux ensem­bles infi­nis ? L’un peut-il être plus « grand » que l’autre ?

Sa réponse tient dans la manière util­isée pour com­par­er deux ensem­bles : au lieu de compter le nom­bre d’éléments de ces derniers et de les com­par­er (ce que l’on ne peut pas faire avec un ensem­ble infi­ni), la méth­ode con­siste à essay­er d’apparier un élé­ment du pre­mier ensem­ble avec un élé­ment du deux­ième. Si chaque élé­ment trou­ve son parte­naire et qu’aucun ne reste seul (on appelle ça une bijec­tion), on peut alors dire que les deux ensem­bles sont égaux. Et cette méth­ode s’applique aus­si bien à des ensem­bles finis et infinis.

C’est ain­si que l’on peut prou­ver que la taille de l’ensemble (infi­ni) des entiers posi­tifs est stricte­ment égale à celle de l’ensemble des entiers (posi­tifs et négatifs).

Plus fort, on a pu aus­si mon­tr­er que, bien qu’il y ait une infinité de frac­tions entre deux entiers, la taille de l’ensemble des entiers est rigoureuse­ment égale à celle de l’ensemble des nom­bres qui s’écrivent sous forme de fraction.

Cepen­dant, il a aus­si été prou­vé que l’ensemble des nom­bres réels (tous les nom­bres s’écrivant avec une vir­gule et un nom­bre fini ou infi­ni de déci­males) était stricte­ment supérieur à celui des entiers.

Aus­si con­tre-intu­itif que cela puisse paraître, deux infi­nis dif­férents peu­vent avoir la même taille, mais, à l’inverse, tous les infi­nis ne se valent pas.

Peut-on dessin­er des fig­ures dont cer­tains paramètres sont infinis ?

Out­re le cer­cle (dont on peut con­sid­ér­er qu’il s’agit d’un poly­gone avec un nom­bre infi­ni de côtés), d’autres fig­ures étranges ont com­mencé à émerg­er pen­dant la 2^ème moitié du XXème siè­cle : les fractals.

Une manière de les créer est de les con­stru­ire par itéra­tion, étape par étape. Au bout d’un nom­bre infi­ni d’étapes, la fig­ure est ter­minée, et on peut en étudi­er les propriétés.

Le flo­con de Von Koch, par exem­ple, est une fig­ure extra­or­di­naire : bien que sa sur­face soit finie, son périmètre, lui est infi­ni.

Ce genre de géométrie a été appliqué avec suc­cès dans le domaine des télé­com­mu­ni­ca­tions. Depuis la fin des années 80, on développe ain­si des antennes frac­tales, dont la longueur, à défaut d’être infinie, est très grande, mais dont le vol­ume reste faible, ce qui per­met d’obtenir des sys­tèmes com­pacts et efficaces.