Black-Scholes : la formule qui a donné naissance à Wall Street

Cette année marque le 50^e anni­ver­saire de la publi­ca­tion d’un article de réfé­rence : “The Pri­cing of Options and Cor­po­rate Lia­bi­li­ties” (« L’Évaluation des options et des obli­ga­tions d’entreprises ») par Fischer Black et Myron Scholes. Cet article décrit une méthode pour déter­mi­ner le prix d’une option d’achat, un contrat finan­cier qui donne à son déten­teur le droit (mais pas l’obligation) d’acheter un actif finan­cier, appe­lé l’actif sous-jacent, à un prix pré­dé­ter­mi­né, à une date future pré­dé­ter­mi­née. Mal­gré toute son impor­tance, la for­mule elle-même n’est pas la contri­bu­tion-clé de l’article, car cer­taines ver­sions de celle-ci étaient connues bien avant Black et Scholes, notam­ment à par­tir de la thèse de doc­to­rat de Louis Bache­lier, publiée en 1900 et inti­tu­lée « Théo­rie de la Spé­cu­la­tion ». La contri­bu­tion prin­ci­pale réside dans la méthode uti­li­sée par Black et Scholes pour prou­ver que la for­mule est vraie.

Pour com­prendre leur idée, pen­sez à une option d’achat. Son prix devrait clai­re­ment dépendre du prix de l’actif sous-jacent : lorsque le prix de l’actif est éle­vé, le prix de l’option asso­ciée devrait éga­le­ment être éle­vé, et de même, lorsque le prix de l’actif est bas, le prix de l’option devrait aus­si être bas. Au fur et à mesure que le temps passe et que le prix de l’actif fluc­tue, le prix de l’option fluc­tue­ra éga­le­ment. Il devrait alors être pos­sible, en ache­tant les actifs de manière dyna­mique, de consti­tuer un por­te­feuille dont la valeur fluc­tue­ra exac­te­ment de la même manière que le prix de l’option. Par consé­quent, si un tra­der a ven­du l’option et détient ce por­te­feuille dyna­mique, sa posi­tion ne sera pas affec­tée par les fluc­tua­tions du mar­ché, ce qui le rend essen­tiel­le­ment sans risque.

Au fur et à mesure que la théo­rie de Black et Scholes s’est répan­due, les options ont pu être négo­ciées avec une plus grande sécu­ri­té, sans prendre trop de risques. 

C’est là que l’idée fon­da­men­tale de Black et Scholes entre en jeu : si la posi­tion est sans risque, le ren­de­ment de cette posi­tion devrait être égal au ren­de­ment de l’actif sans risque, tel qu’une obli­ga­tion d’état. Le concept sous-jacent à cette idée s’appelle « absence d’arbitrage ». Si le ren­de­ment de la posi­tion sans risque du tra­der était dif­fé­rent du taux d’intérêt, le tra­der pour­rait gagner de l’argent sans prendre de risque et deve­nir très riche très rapi­de­ment. En recon­nais­sant que le ren­de­ment du por­te­feuille cou­vert est égal au taux d’intérêt, Black et Scholes ont ensuite déri­vé une équa­tion pour le prix de l’option, dont la solu­tion est don­née par la for­mule de Black-Scholes.

L’importance de l’approche de Black et Scholes réside dans le fait que leur for­mule repose sur une stra­té­gie de cou­ver­ture de l’option : un tra­der ven­dant une option au prix don­né par la for­mule B‑S peut immé­dia­te­ment mettre en place une stra­té­gie per­met­tant de mini­mi­ser, voire d’éliminer com­plè­te­ment, le risque asso­cié à cette posi­tion. Avant Black et Scholes, de telles stra­té­gies de cou­ver­ture dyna­mique ne pou­vaient pas être cal­cu­lées de manière sys­té­ma­tique, ce qui ralen­tis­sait le déve­lop­pe­ment des mar­chés dérivés.

Au fur et à mesure que la théo­rie de Black et Scholes s’est répan­due, les options ont pu être négo­ciées avec une plus grande sécu­ri­té, sans prendre trop de risques. Cela a conduit à l’expansion du tra­ding d’options et à la créa­tion de mar­chés d’options, dont le Chi­ca­go Board of Options Exchange (1973), le Mar­ché des Options Négo­ciables de Paris (1987) et d’autres.

La for­mule Black-Scholes a connu une jeu­nesse tumul­tueuse. Le pre­mier aver­tis­se­ment est venu avec la crise finan­cière de 1987. Une des prin­ci­pales hypo­thèses der­rière la for­mule est que le prix de l’actif suit une « marche aléa­toire en temps conti­nu ». Cela implique que la pro­ba­bi­li­té d’une forte varia­tion sur une courte période de temps, comme une seule jour­née, est très faible. Néan­moins, le lun­di 19 octobre 1987, désor­mais célèbre sous le nom de « Lun­di noir », le Dow Jones Indus­trial Ave­rage (le prin­ci­pal indice de l’économie amé­ri­caine de l’époque) a chu­té de 22,6 %. Les ven­deurs d’options de vente – ces der­nières étant conçues pour offrir une pro­tec­tion contre de telles baisses – ont subi de lourdes pertes. Il est deve­nu évident que si la for­mule Black-Scholes fonc­tion­nait bien dans des condi­tions de mar­ché nor­males, elle ne tenait pas compte des évé­ne­ments extrêmes comme le Lun­di noir.

La réponse des mar­chés finan­ciers a été d’ajuster les para­mètres de la for­mule : les options offrant une pro­tec­tion contre les krachs bour­siers étaient désor­mais éva­luées avec un para­mètre de vola­ti­li­té plus éle­vé que les options cap­tu­rant de petites varia­tions quo­ti­diennes du mar­ché. Cet effet est deve­nu connu sous le nom de « smile de vola­ti­li­té » en rai­son de la forme en sou­rire que le gra­phique de vola­ti­li­té revêt sur les écrans des tra­ders. Depuis lors, des exten­sions de plus en plus com­plexes de la for­mule Black-Scholes ont été déve­lop­pées : vola­ti­li­té locale, vola­ti­li­té sto­chas­tique, vola­ti­li­té rugueuse, etc.

Le para­digme Black-Scholes a été remis en ques­tion par plu­sieurs auteurs qui sou­tiennent que des modèles radi­ca­le­ment dif­fé­rents sont néces­saires pour une meilleure ges­tion des risques, comme ceux basés sur les frac­tales intro­duites par Benoît Man­del­brot. Cepen­dant, ces modèles n’ont jamais pris racine dans l’industrie finan­cière car ils ne per­mettent pas une cou­ver­ture effi­cace. La ges­tion des risques sur les mar­chés des options repose tou­jours sur le prin­cipe de cou­ver­ture dyna­mique déve­lop­pé par Black et Scholes, et leur for­mule, bien qu’elle soit rare­ment uti­li­sée direc­te­ment, four­nit aux tra­ders un lan­gage com­mun pour expri­mer des idées plus complexes.

La for­mule Black-Scholes découle d’une équa­tion, rap­pe­lant « l’équation de la cha­leur » en phy­sique, qui décrit la pro­pa­ga­tion de la cha­leur dans un corps solide. Il n’est donc pas sur­pre­nant que les pre­miers « quants » soient issus du domaine de la phy­sique. Cepen­dant, les mathé­ma­ti­ciens ont rapi­de­ment réa­li­sé qu’ils, et non les phy­si­ciens, dis­po­saient des outils par­faits pour déve­lop­per la théo­rie de l’évaluation des options. Avec la publi­ca­tion de deux articles his­to­riques par Har­ri­son et Kreps en 1979, puis par Har­ri­son et Plis­ka en 1982, il est deve­nu évident que la théo­rie du cal­cul sto­chas­tique était par­fai­te­ment adap­tée pour décrire les notions d’arbitrage, de cou­ver­ture dyna­mique et, en fin de compte, d’évaluation des options. Le cal­cul sto­chas­tique a été inven­té par le mathé­ma­ti­cien japo­nais Kiyo­shi Ito, puis déve­lop­pé par l’école fran­çaise de pro­ba­bi­li­tés à Paris et à Stras­bourg. Il n’est donc pas éton­nant que de nom­breux mathé­ma­ti­ciens aient trou­vé dans les nou­velles for­mules finan­cières un ter­rain d’application par­fait avec des ques­tions de recherche sti­mu­lantes, des étu­diants curieux et des par­te­naires indus­triels encou­ra­geants. Ain­si, un par­te­na­riat pro­duc­tif et durable s’est for­mé entre une par­tie de la com­mu­nau­té mathé­ma­tique et le sec­teur finan­cier. Non seule­ment les mathé­ma­ti­ciens ont aidé les tra­ders à éva­luer les options, mais le sec­teur finan­cier a été une source impor­tante d’idées qui ont conduit à l’é­mer­gence de nou­velles branches de la probabilité.

Un par­te­na­riat pro­duc­tif et durable s’est for­mé entre une par­tie de la com­mu­nau­té mathé­ma­tique et le sec­teur financier. 

Mal­heu­reu­se­ment, cette rela­tion durable a conduit cer­tains tra­ders à croire que les mathé­ma­tiques leur per­met­taient de fixer par­fai­te­ment le prix et de cou­vrir n’importe quel type d’option, aus­si sophis­ti­quée soit-elle. Lorsque la crise finan­cière mon­diale a frap­pé, cer­tains ont pen­sé que les mathé­ma­ti­ciens en étaient res­pon­sables et que les modèles mathé­ma­tiques étaient les « armes de des­truc­tion mas­sive » qui avaient pré­ci­pi­té la crise. En réa­li­té, la crise n’a pas été cau­sée par une recherche mathé­ma­tique exces­sive, mais par son insuf­fi­sance. La for­mule uti­li­sée par les banques pour éva­luer les obli­ga­tions de cré­dit ados­sées à des actifs, un déri­vé finan­cier en grande par­tie res­pon­sable de la crise, était trop simple pour cette tâche et ne tenait pas compte de nom­breux risques asso­ciés à ces pro­duits complexes.

La crise a entraî­né des chan­ge­ments pro­fonds, non seule­ment dans l’industrie finan­cière, mais aus­si dans les mathé­ma­tiques finan­cières. Au lieu de déve­lop­per des modèles com­plexes pour l’évaluation des options, la recherche s’est orien­tée vers des approches plus robustes et vers la ges­tion de nou­veaux types de risques, tels que le risque de défaillance sys­té­mique du sys­tème financier.

À la fin des années 1980, Paris est deve­nue un centre finan­cier impor­tant avec de nom­breuses banques et un mar­ché des options en plein essor. C’était éga­le­ment le foyer de cer­tains des plus grands experts mon­diaux en pro­ba­bi­li­té, cal­cul sto­chas­tique et contrôle sto­chas­tique. D’autre part, le sys­tème d’enseignement supé­rieur fran­çais, avec ses grandes écoles, met­tait for­te­ment l’accent sur une for­ma­tion com­plète en mathé­ma­tiques, et de nom­breux étu­diants étaient dési­reux d’apprendre de nou­velles appli­ca­tions de cette dis­ci­pline scientifique.

Paris à la fin des années 1980 était donc un ter­reau fer­tile pour faire pro­gres­ser les mathé­ma­tiques finan­cières, créer des pro­grammes d’enseignement en finance quan­ti­ta­tive et éta­blir des par­te­na­riats entre les uni­ver­si­tés et les ins­ti­tu­tions finan­cières. Ce nou­veau domaine a sus­ci­té l’intérêt des prin­ci­paux pro­ba­bi­listes fran­çais, par­mi les­quels Nicole El Karoui, Hélyette Geman, Nico­las Bou­leau, Damien Lam­ber­ton et Ber­nard Lapeyre.

En 1990, une filière en mathé­ma­tiques finan­cières a été créée dans le prin­ci­pal pro­gramme de mas­ter en pro­ba­bi­li­tés à Jus­sieu (aujourd’hui Sor­bonne Uni­ver­si­té). Ce pro­gramme a atti­ré prin­ci­pa­le­ment des étu­diants des grandes écoles d’ingénieurs comme l’École poly­tech­nique et l’École des Ponts, qui ont été for­més à la théo­rie Black-Scholes avec une touche fran­çaise bien dis­tincte de cal­cul sto­chas­tique. À peu près à la même époque, un cours de mathé­ma­tiques finan­cières a été intro­duit à l’École des Ponts, ce qui a conduit à la publi­ca­tion en 1992 de « Cal­cul sto­chas­tique appli­qué à la finance » de D. Lam­ber­ton et B. Lapeyre, pre­mier livre sur ce sujet en France et un des pre­miers au monde. En 1997, Nicole El Karoui est deve­nue pro­fes­seure à l’École poly­tech­nique et a créé le cours « Méthodes sto­chas­tiques en finance » dans la majeure mathé­ma­tiques appliquées.

Au cours des 10 années pré­cé­dant la crise des sub­primes, le nombre d’étudiants dans ces pro­grammes et d’autres a explo­sé, au point qu’en 2006, Le Monde a rap­por­té qu’« un quant sur trois dans le monde est fran­çais ». À la suite de la crise finan­cière, le nombre d’é­tu­diants ins­crits a dimi­nué dans une cer­taine mesure, en rai­son d’une dimi­nu­tion tem­po­raire des embauches par les banques. De plus, l’accent des pro­grammes d’enseignement s’est dépla­cé de l’évaluation des options à la ges­tion des risques et à la régle­men­ta­tion. Actuel­le­ment, le flux de quants fran­çais conti­nue à un rythme plus modé­ré. Néan­moins, le pro­gramme de l’École poly­tech­nique et le pro­gramme his­to­rique de mas­ter en pro­ba­bi­li­tés et finance, désor­mais géré conjoin­te­ment par Poly­tech­nique et Sor­bonne Uni­ver­si­té, sont tou­jours une marque d’excellence dans le domaine.